如圖，拋物線y=ax2﹣5ax+c與座標軸分別交於點A，C，E三點，其中A（﹣3，0），C（0，4），點B在x...

問題詳情：

如圖，拋物線y=ax2﹣5ax+c與座標軸分別交於點A，C，E三點，其中A（﹣3，0），C（0，4），點B在x軸上，AC=BC，過點B作BD⊥x軸交拋物線於點D，點M，N分別是線段CO，BC上的動點，且CM=BN，連接MN，AM，AN．

（1）求拋物線的解析式及點D的座標；

（2）當△CMN是直角三角形時，求點M的座標；

（3）試求出AM+AN的最小值．

【回答】

（1）拋物線解析式爲y=﹣x2+x+4；D點座標爲（3，5）；（2）M點的座標爲（0，）或（0，）；（3）AM+AN的最小值爲．

【解析】

（1）利用待定係數法求拋物線解析式；利用等腰三角形的*質得B（3，0），然後計算自變量爲3所對應的二次函數值可得到D點座標；

（2）利用勾股定理計算出BC=5，設M（0，m），則BN=4﹣m，CN=5﹣（4﹣m）=m+1，由於∠MCN=∠OCB，根據相似三角形的判定方法，當時，△CMN∽△COB，於是有∠CMN=∠COB=90°，即；當時，△CMN∽△CBO，於是有∠CNM=∠COB=90°，即，然後分別求出m的值即可得到M點的座標；

（3）連接DN，AD，如圖，先*△ACM≌△DBN，則AM=DN，所以AM+AN=DN+AN，利用三角形三邊的關係得到DN+AN≥AD（當且僅當點A、N、D共線時取等號），然後計算出AD即可．

【詳解】（1）把A（﹣3，0），C（0，4）代入y=ax2﹣5ax+c得，解得，

∴拋物線解析式爲y=﹣x2+x+4；

∵AC=BC，CO⊥AB，

∴OB=OA=3，

∴B（3，0），

∵BD⊥x軸交拋物線於點D，

∴D點的橫座標爲3，

當x=3時，y=﹣×9+×3+4=5，

∴D點座標爲（3，5）；

（2）在Rt△OBC中，BC==5，

設M（0，m），則BN=4﹣m，CN=5﹣（4﹣m）=m+1，

∵∠MCN=∠OCB，

∴當時，△CMN∽△COB，則∠CMN=∠COB=90°，

即，解得m=，此時M點座標爲（0，）；

當時，△CMN∽△CBO，則∠CNM=∠COB=90°，

即，解得m=，此時M點座標爲（0，）；

綜上所述，M點的座標爲（0，）或（0，）；

（3）連接DN，AD，如圖，

∵AC=BC，CO⊥AB，

∴OC平分∠ACB，

∴∠ACO=∠BCO，

∵BD∥OC，

∴∠BCO=∠DBC，

∵DB=BC=AC=5，CM=BN，

∴△ACM≌△DBN，

∴AM=DN，

∴AM+AN=DN+AN，

而DN+AN≥AD（當且僅當點A、N、D共線時取等號），

∴DN+AN的最小值=，

∴AM+AN的最小值爲．

【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的座標特徵、二次函數的*質和相似三角形的判定與*質等，解題的關鍵是會利用待定係數法求函數解析式、理解座標與圖形*質、會運用分類討論的思想解決數學問題．

知識點：二次函數單元測試

題型：解答題