如圖,在矩形ABCD中,AD=2AB.將矩形ABCD對摺,得到摺痕MN;沿着CM摺疊,點D的對應點爲E,ME與...
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問題詳情:
如圖,在矩形ABCD中,AD=2AB.將矩形ABCD對摺,得到摺痕MN;沿着CM摺疊,點D的對應點爲E,ME與BC的交點爲F;再沿着MP摺疊,使得AM與EM重合,摺痕爲MP,此時點B的對應點爲G.下列結論:①△CMP是直角三角形;②點C、E、G不在同一條直線上;③PC=MP;④BP=AB;⑤點F是△CMP外接圓的圓心,其中正確的個數爲( )
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
【回答】
B【分析】根據摺疊的*質得到∠DMC=∠EMC,∠AMP=∠EMP,於是得到∠PME+∠CME=180°=90°,求得△CMP是直角三角形;故①正確;根據平角的定義得到點C、E、G在同一條直線上,故②錯誤;設AB=x,則AD=2x,得到DM=AD=x,根據勾股定理得到CM==x,根據*影定理得到CP==x,得到PC=MP,故③錯誤;求得PB=AB,故④,根據平行線等分線段定理得到CF=PF,求得點F是△CMP外接圓的圓心,故⑤正確.
【解答】解:∵沿着CM摺疊,點D的對應點爲E,
∴∠DMC=∠EMC,
∵再沿着MP摺疊,使得AM與EM重合,摺痕爲MP,
∴∠AMP=∠EMP,
∵∠AMD=180°,
∴∠PME+∠CME=180°=90°,
∴△CMP是直角三角形;故①正確;
∵沿着CM摺疊,點D的對應點爲E,
∴∠D=∠MEC=90°,
∵再沿着MP摺疊,使得AM與EM重合,摺痕爲MP,
∴∠MEG=∠A=90°,
∴∠GEC=180°,
∴點C、E、G在同一條直線上,故②錯誤;
∵AD=2AB,
∴設AB=x,則AD=2x,
∵將矩形ABCD對摺,得到摺痕MN;
∴DM=AD=x,
∴CM==x,
∵∠PMC=90°,MN⊥PC,
∴CM2=CN•CP,
∴CP==x,
∴PN=CP﹣CN=x,
∴PM==x,
∴==,
∴PC=MP,故③錯誤;
∵PC=x,
∴PB=2x﹣x=x,
∴=,
∴PB=AB,故④,
∵CD=CE,EG=AB,AB=CD,
∴CE=EG,
∵∠CEM=∠G=90°,
∴FE∥PG,
∴CF=PF,
∵∠PMC=90°,
∴CF=PF=MF,
∴點F是△CMP外接圓的圓心,故⑤正確;
故選:B.
知識點:各地中考
題型:選擇題
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