如圖，拋物線y=ax2+bx過A（﹣4，0），B（﹣1，3）兩點，點C、B關於拋物線的對稱軸對稱，過點B作直線...

問題詳情：

如圖，拋物線y=ax2+bx過A（﹣4，0），B（﹣1，3）兩點，點C、B關於拋物線的對稱軸對稱，過點B作直線BH⊥x軸，交x軸於點H．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）寫出點C的座標，並求出△ABC的面積；

（3）點P是拋物線上一動點，且位於x軸的下方，當△ABP的面積爲15時，求出點P的座標；

（4）若點M在直線BH上運動，點N在x軸上運動，當以點C、M、N爲頂點的三角形爲等腰直角三角形時，請直接寫出此時點N的座標．

【回答】

【解答】解：（1）把點A（﹣4，0），B（﹣1，3）代入拋物線y=ax2+bx中，

得，

解得，

∴拋物線表達式爲y=﹣x2﹣4x；[來源:學科網ZXXK]

（2）∵y=﹣x2+4x=﹣（x+2）2+4，

∴拋物線對稱軸爲x=﹣2，

∵點C和點B關於對稱軸對稱，點B的座標爲（﹣1，3），

∴C（﹣3，3），

∴BC=2，

∴S△ABC=×2×3=3；

（3）如圖，過P點作PF垂直x軸，交直線AB於點F，

∵A（﹣4，0），B（﹣1，3），

設直線AB的解析式爲y=kx+b，

則，

解得，

即直線AB的解析式爲y=x+4，

設點P（m，﹣m2﹣4m），則F（m，m+4），

∴PF=m+4+m2+4m=m2+5m+4．

∴S△PAB=×（m2+5m+4）×3=15，

m2+5m﹣6=0，

解得m1=﹣6，m2=1，

∴點P座標爲（﹣6，﹣12）或（1，﹣5）；

（4）以點C、M、N爲頂點的三角形爲等腰直角三角形時，分三類情況討論：

①以點M爲直角頂點且M在x軸上方時，如圖2，CM=MN，∠CMN=90°，

則△CBM≌△MHN，

∴BC=MH=2，BM=HN=3﹣2=1，

∴N（﹣2，0）；

②以點M爲直角頂點且M在x軸下方時，如圖3，

作輔助線，構建如圖所示的兩直角三角形：Rt△NEM和Rt△MDC，

得Rt△NEM≌Rt△MDC，

∴EM=CD=5，

∵OH=1，

∴ON=NH﹣OH=5﹣1=4，

∴N（4，0）；

③以點N爲直角頂點且N在y軸左側時，如圖4，CN=MN，∠MNC=90°，作輔助線，

同理得Rt△NEM≌Rt△MDC，

∴ME=NH=DN=3，

∴ON=3﹣1=2，

∴N（﹣2，0）；

④以點N爲直角頂點且N在y軸右側時，作輔助線，如圖5，

同理得ME=DN=NH=3，

∴ON=1+3=4，

∴N（﹣4，0）；

⑤以C爲直角頂點時，不能構成滿足條件的等腰直角三角形；

綜上可知當△CMN爲等腰直角三角形時N點座標爲（2，0）或（﹣4，0）或（﹣2，0）或（4，0）．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題