已知實數a，b滿足ln（b+1）+a﹣3b=0，實數c，d滿足，則（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值爲　  　...

問題詳情：

已知實數a，b滿足ln（b+1）+a﹣3b=0，實數c，d滿足，則（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值爲　   　．

【回答】

1　．

【考點】7G：基本不等式在最值問題中的應用．

【分析】（a﹣c）2+（b﹣d）2的幾何意義是點（b，a）到點（d，c）的距離的平方，而點（b，a）在曲線y=3x﹣ln（x+1）上，點（d，c）在直線y=2x+上．故（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值就是曲線上與直線y=2x+平行的切線到該直線的距離的平方．利用導數求出曲線上斜率爲2的切線方程，再利用兩平行直線的距離公式即可求出最小值．

【解答】解：由ln（b+1）+a﹣3b=0，得a=3b﹣ln（b+1），則點（b，a）是曲線y=3x﹣ln（x+1）上的任意一點，

由2d﹣c+=0，得c=2d+，則點（d，c）是直線y=2x+上的任意一點，

因爲（a﹣c）2+（b﹣d）2表示點（b，a）到點（d，c）的距離的平方，即曲線上的一點與直線上一點的距離的平方，

所以（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值就是曲線上的點到直線距離的最小值的平方，即曲線上與直線y=2x+平行的切線到該直線的距離的平方．

y'=，令y'=2，得x=0，此時y=0，即過原點的切線方程爲y=2x，

則曲線上的點到直線距離的最小值的平方=1．

故*爲：1．

知識點：基本初等函數I

題型：填空題