如圖,在平面直角座標系中,二次函數的圖象交座標軸於A(﹣1,0),B(4,0),C(0,﹣4)三點,點P是直線...
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問題詳情:
如圖,在平面直角座標系中,二次函數的圖象交座標軸於A(﹣1,0),B(4,0),C(0,﹣4)三點,點P是直線BC下方拋物線上一動點.
(1)求這個二次函數的解析式;
(2)是否存在點P,使△POC是以OC爲底邊的等腰三角形?若存在,求出P點座標;若不存在,請說明理由;
(3)動點P運動到什麼位置時,△PBC面積最大,求出此時P點座標和△PBC的最大面積.
【回答】
(1)y=x2﹣3x﹣4;(2)存在,P(,﹣2);(3)當P點座標爲(2,﹣6)時,△PBC的最大面積爲8.
【詳解】
試題分析:(1)由A、B、C三點的座標,利用待定係數法可求得拋物線解析式;(2)由題意可知點P在線段OC的垂直平分線上,則可求得P點縱座標,代入拋物線解析式可求得P點座標;(3)過P作PE⊥x軸,交x軸於點E,交直線BC於點F,用P點座標可表示出PF的長,則可表示出△PBC的面積,利用二次函數的*質可求得△PBC面積的最大值及P點的座標.
試題解析:(1)設拋物線解析式爲y=ax2+bx+c,
把A、B、C三點座標代入可得,解得,
∴拋物線解析式爲y=x2﹣3x﹣4;
(2)作OC的垂直平分線DP,交OC於點D,交BC下方拋物線於點P,如圖1,
∴PO=PD,此時P點即爲滿足條件的點,∵C(0,﹣4),∴D(0,﹣2),∴P點縱座標爲﹣2,
代入拋物線解析式可得x2﹣3x﹣4=﹣2,解得x=(小於0,捨去)或x=,
∴存在滿足條件的P點,其座標爲(,﹣2);
(3)∵點P在拋物線上,∴可設P(t,t2﹣3t﹣4),
過P作PE⊥x軸於點E,交直線BC於點F,如圖2,
∵B(4,0),C(0,﹣4),∴直線BC解析式爲y=x﹣4,∴F(t,t﹣4),
∴PF=(t﹣4)﹣(t2﹣3t﹣4)=﹣t2+4t,
∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF•OE+PF•BE=PF•(OE+BE)=PF•OB=(﹣t2+4t)×4=﹣2(t﹣2)2+8,∴當t=2時,S△PBC最大值爲8,此時t2﹣3t﹣4=﹣6,
∴當P點座標爲(2,﹣6)時,△PBC的最大面積爲8.
考點:二次函數綜合題.
知識點:二次函數單元測試
題型:解答題
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