如圖，拋物線與x軸交於A，B兩點，與y軸交於點C（0，﹣2），點A的座標是（2，0），P為拋物線上的一個動點，...

問題詳情：

如圖，拋物線與x軸交於A，B兩點，與y軸交於點C（0，﹣2），點A的座標是（2，0），P為拋物線上的一個動點，過點P作PD⊥x軸於點D，交直線BC於點E，拋物線的對稱軸是直線x＝﹣1．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）若點P在第二象限內，且PE＝OD，求△PBE的面積．

（3）在（2）的條件下，若M為直線BC上一點，在x軸的上方，是否存在點M，使△BDM是以BD為腰的等腰三角形？若存在，求出點M的座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

【分析】（1）點A（2，0）、點B（﹣4，0），則函數的表達式為：y＝a（x﹣2）（x+4）＝a（x2+2x﹣8），即可求解；

（2）PE＝OD，則PE＝（x2+x﹣2﹣x+2）＝（﹣x），求得：點D（﹣5，0），利用S△PBE＝PE×BD＝（x2+x﹣2﹣x+2）（﹣4﹣x），即可求解；

（3）BD＝1＝BM，則yM＝﹣BMsin∠ABC＝﹣1×＝﹣，即可求解．

【解答】解：（1）點A的座標是（2，0），拋物線的對稱軸是直線x＝﹣1，則點B（﹣4，0），

則函數的表達式為：y＝a（x﹣2）（x+4）＝a（x2+2x﹣8），

即：﹣8a＝﹣2，解得：a＝，

故拋物線的表達式為：y＝x2+x﹣2；

（2）將點B、C的座標代入一次函數表達式：y＝mx+n並解得：

直線BC的表達式為：y＝﹣x﹣2，則tan∠ABC＝，則sin∠ABC＝，

設點D（x，0），則點P（x，x2+x﹣2），點E（x，x﹣2），

∵PE＝OD，

∴PE＝（x2+x﹣2﹣x+2）＝（﹣x），

解得：x＝0或﹣5（捨去x＝0），

即點D（﹣5，0）

S△PBE＝×PE×BD＝（x2+x﹣2﹣x+2）（﹣4﹣x）＝；

（3）由題意得：△BDM是以BD為腰的等腰三角形，只存在：BD＝BM的情況，

BD＝1＝BM，

則yM＝﹣BMsin∠ABC＝﹣1×＝﹣，

則xM＝﹣，

故點M（﹣，﹣）．

【點評】主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養．要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的座標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關係．

知識點：各地中考

題型：綜合題