如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，BO為△ABC的角平分線，以點O為圓心，OC為半徑作⊙O與線段AC交於點D...

問題詳情：

如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，BO為△ABC的角平分線，以點O為圓心，OC為半徑作⊙O與線段AC交於點D．

（1）求*：AB為⊙O的切線；

（2）若tanA＝，AD＝2，求BO的長．

【回答】

（1）見解析；（2）3

【解析】

（1）過O作OH⊥AB於H，根據角平分線的*質得到OH＝OC，根據切線的判定定理即可得到結論；

（2）設⊙O的半徑為3x，則OH＝OD＝OC＝3x，再解直角三角形即可得到結論．

【詳解】

（1）*：過O作OH⊥AB於H，

∵∠ACB＝90°，

∴OC⊥BC，

∵BO為△ABC的角平分線，OH⊥AB，

∴OH＝OC，

即OH為⊙O的半徑，

∵OH⊥AB，

∴AB為⊙O的切線；

（2）解：設⊙O的半徑為3x，則OH＝OD＝OC＝3x，

在Rt△AOH中，∵tanA＝，

∴＝，

∴＝，

∴AH＝4x，

∴AO＝＝＝5x，

∵AD＝2，

∴AO＝OD+AD＝3x+2，

∴3x+2＝5x，

∴x＝1，

∴OA＝3x+2＝5，OH＝OD＝OC＝3x＝3，

∴AC＝OA+OC＝5+3＝8，

在Rt△ABC中，∵tanA＝，

∴BC＝AC•tanA＝8×＝6，

∴OB＝＝＝．

【點睛】

本題考查切線的判定、解直角三角形等內容，熟練運用圓中的*質定理是解題的關鍵．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題