如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,以線段AB為邊向外作等邊△ABD,點E是線段AB的中點...
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問題詳情:
如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,以線段AB為邊向外作等邊△ABD,點E是線段AB的中點,連接CE並延長交線段AD於點F.
(1)求*:四邊形BCFD為平行四邊形;
(2)若AB=6,求平行四邊形BCFD的面積.
【回答】
(1)*見解析;(2)9.
【分析】
(1)在Rt△ABC 中,E為AB的中點,則CEAB,BEAB,得到∠BCE=∠EBC=60°.由△AEF≌△BEC,得∠AFE=∠BCE=60°,又∠D=60°,得∠AFE=∠D=60°,所以FC∥BD,又因為∠BAD=∠ABC=60°,所以AD∥BC,即FD∥BC,由此即可得四邊形BCFD是平行四邊形;
(2)在Rt△ABC中,求出BC,AC即可解決問題.
【詳解】
(1)在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,
∴∠ABC=60°,
在等邊△ABD中,∠BAD=60°,∴∠BAD=∠ABC=60°,
∵E為AB的中點,∴AE=BE,
又∵∠AEF=∠BEC,∴△AEF≌△BEC,
在△ABC中,∠ACB=90°,E為AB的中點,
∴CEAB,BEAB,
∴CE=AE,
∴∠EAC=∠ECA=30°,∴∠BCE=∠EBC=60°,
又∵△AEF≌△BEC,∴∠AFE=∠BCE=60°,
又∵∠D=60°,∴∠AFE=∠D=60°,∴FC∥BD,
又∵∠BAD=∠ABC=60°,∴AD∥BC,即FD∥BC,
∴四邊形BCFD是平行四邊形;
(2)在Rt△ABC中,∵∠BAC=30°,AB=6,
∴BCAB=3,AC==3,
∴S平行四邊形BCFD=3.
【點睛】
本題考查了平行四邊形的判定和*質、直角三角形斜邊中線定理、等邊三角形的*質、勾股定理等知識,解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題.
知識點:特殊的平行四邊形
題型:解答題
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