如圖,正方形ABCD中,以AD為底邊作等腰△ADE,將△ADE沿DE摺疊,點A落到點F處,連接EF剛好經過點C...
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問題詳情:
如圖,正方形ABCD中,以AD為底邊作等腰△ADE,將△ADE沿DE摺疊,點A落到點F處,連接EF剛好經過點C,再連接AF,分別交DE於點G,交CD於點H,下列結論:①△ABM≌△DCN;②∠DAF=30°;③△AEF是等腰直角三角形;④EC=CF;⑤,其中正確的有__________.
【回答】
①③⑤
【解析】
①:由正方形ABCD的*質以及等腰△EAD的*質*△ABM≌△DCN即可;②③:連接AC,以D為圓心,DA的長度為半徑畫圓,不難*圓D過點A、E、F,由圓周角定理求出∠AFE的度數,進而求出∠FAE的度數及∠AEF的度數,從而*出△AEF為等腰直角三角形,由摺疊可得出∠AED的度數,由等腰△AED的*質求出∠DAE的度數即可求出∠DAF的度數;④:作CK⊥AF交AF於點K,不難求出∠KAC=∠CAE=22.5°,由角平分線的*質可得CK=CE,由直角三角形的*質可得CF>KC,所以CF>CE;⑤:求出∠FDC=∠ACD=45°,*出DF∥AC,從而得出S△DAF=S△DCF,進而得出S△DAH=S△CFH.
【詳解】
∵正方形ABCD,
∴AB=CD,∠BAD=∠CDA=∠B=∠DCN=90°,
∵等腰△ADE,
∴∠EAD=∠EDA,
∴∠BAM=∠CDN,
∵在Rt△ABM與Rt△DCN中,
,
∴△ABM≌△DCN,
故結論①正確;
連接AC,以D為圓心,DA的長度為半徑畫圓,
由翻折可得AD=DF,AE=EF,
∴圓D經過點A、C、F,
∴∠AFC=45°,
∴∠AFC=∠EAF=45°,
∴∠AEF=90°,
∴∠AED=∠DEF=45°,
∴∠EAD=67.5°,
∴∠DAF=22.5°,
故結論②錯誤;
∵AE=EF,∠AEF=90°,
∴△AEF是等腰直角三角形,
故結論③正確;
作CK⊥AF交AF於點K,
∵∠EAD=62.5°,∠FAD=22.5°,
∴∠BAM=∠CDN=22.5°,∠KAC=22.5°,
∴∠EAC=22.5°,
∴∠EAC=∠KAC,
∴KC=CE,
∵在Rt△FKC中,FC>KC,
∴FC>CE,
故結論④錯誤;
∵∠DAF=∠DFA=22.5°,
∴∠ADF=135°,
∴∠FDC=45°,
∴∠FDC=∠DCA,
∴AC∥DF,
∴S△DAF=S△DCF,
∴S△DAH=S△CFH,
故結論⑤正確.
正確的結論有①③⑤.
故*為①③⑤.
【點睛】
本題較難,是一道幾何綜合題,主要考查圓的*質、圓周角定理、全等三角形的判定與*質、正方形的*質、角平分線的*質.
知識點:正多邊形和圓
題型:填空題
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