如圖，已知正方形ABCD的邊長為a，E為CD邊上一點（不與端點重合），將△ADE沿AE對摺至△AFE，延長EF...

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問題詳情：

如圖，已知正方形ABCD的邊長為a，E為CD邊上一點（不與端點重合），將△ADE沿AE對摺至△AFE，延長EF交邊BC於點G，連接AG，CF．給出下列判斷： ①∠EAG=45°； ②若DE=a，則AG∥CF； ③若E為CD的中點，則△GFC的面積為a2； ④若CF=FG，則DE=（-1）a； ⑤BG•DE+AF•GE=a2．其中正確的是______．（寫出所有正確判斷的序號）

【回答】

①②④⑤ 【解析】

解：①∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=BC=AD=a， ∵將△ADE沿AE對摺至△AFE， ∴∠AFE=∠ADE=∠ABG=90°，AF=AD=AB，EF=DE，∠DAE=∠FAE，在Rt△ABG和Rt△AFG中， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）， ∴∠BAG=∠FAG， ∴∠GAE=∠GAF+∠EAF=90°=45°，故①正確； ②∴BG=GF，∠BGA=∠FGA，設BG=GF=x，∵DE=a， ∴EF=a， ∴CG=a-x，在Rt△EGC中，EG=x+a，CE=a，由勾股定理可得（x+a）2=x2+（a）2，解得x=a，此時BG=CG=a， ∴GC=GF=a， ∴∠GFC=∠GCF，且∠BGF=∠GFC+∠GCF=2∠GCF， ∴2∠AGB=2∠GCF， ∴∠AGB=∠GCF， ∴AG∥CF， ∴②正確； ③若E為CD的中點，則DE=CE=EF=，設BG=GF=y，則CG=a-y， CG2+CE2=EG2，即，解得，y=a， ∴BG=GF=，CG=a-， ∴， ∴，故③錯誤； ④當CF=FG，則∠FGC=∠FCG， ∵∠FGC+∠FEC=∠FCG+∠FCE=90°， ∴∠FEC=∠FCE， ∴EF=CF=GF， ∴BG=GF=EF=DE， ∴EG=2DE，CG=CE=a-DE， ∴，即， ∴DE=（-1）a，故④正確； ⑤設BG=GF=b，DE=EF=c，則CG=a-b，CE=a-c，由勾股定理得，（b+y）2=（a-b）2+（a-c）2，整理得bc=a2-ab-ac， ∴=，即S△CEG=BG•DE， ∵S△ABG=S△AFG，S△AEF=S△ADE， ∴， ∵S五邊形ABGED+S△CEG=S正方形ABCD， ∴BG•DE+AF•EG=a2，故⑤正確．故*為：①②④⑤． ①由摺疊得AD=AF=AB，再由HL定理*Rt△ABG≌Rt△AFG便可判定正誤； ②設BG=GF=x，由勾股定理可得（x+a）2=x2+（a）2，求得BG=a，進而得GC=GF，得∠GFC=∠GCF，再*∠AGB=∠GCF，便可判斷正誤； ③設BG=GF=y，則CG=a-y，由勾股定理得y的方程求得BG，GF，EF，再由同高的兩個三角形的面積比等於底邊之比，求得△CGF的面積，便可判斷正誤； ④*∠FEC=∠FCE，得EF=CF=GF，進而得EG=2DE，CG=CE=a-DE，由等腰直角三角形的斜邊與直角邊的關係式便可得結論，進而判斷正誤； ⑤設BG=GF=b，DE=EF=c，則CG=a-b，CE=a-c，由勾股定理得bc=a2-ab-ac，再得△CEG的面積為BG•DE，再由五邊形ABGED的面積加上△CEG的面積等於正方形的面積得結論，進而判斷正誤．本題主要考查正方形的*質及全等三角形的判定和*質，勾股定理，利用摺疊得到線段相等及角相等、正方形的*質的運用是解題的關鍵．涉及內容多而複雜，難度較大．