已知函數f(x)=(x2+ax+a)ex(a≤2,x∈R)(1)當a=1時,求f(x)的單調區間.(2)是否存...
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問題詳情:
已知函數f(x)=(x2+ax+a)ex(a≤2,x∈R)
(1)當a=1時,求f(x)的單調區間.
(2)是否存在實數a,使f(x)的極大值為3?若存在,求出a的值,若不存在,請説明理由.
【回答】
【解析】(1)f(x)=(x2+x+1)ex,f′(x)=(2x+1)ex+(x2+x+1)ex=(x2+3x+2)ex,
當f′(x)>0時,解得x<-2或x>-1,
當f′(x)<0時,解得-2<x<-1,
所以函數的單調增區間為(-∞,-2),(-1,+∞);單調減區間為(-2,-1).
(2)f′(x)=(2x+a)ex+(x2+ax+a)ex=[x2+(2+a)x+2a]ex=(x+a)(x+2)ex=0,
所以x=-a,或x=-2,
列表如下:因為a≤2,所以-a≥-2.
x | (-∞,-2) | -2 | (-2,-a) | -a | (-a,+∞) |
f′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | ↗ | 極大 | ↘ | 極小 | ↗ |
由表可知
f(x)極大=f(-2)=(4-2a+a)e-2=3,
解得a=4-3e2≤2,所以存在實數a≤2,使f(x)的極大值為3.
知識點:導數及其應用
題型:解答題
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