已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D、E分別是AB、AC的中點,將△ADE繞點A按順時針方向旋轉一...
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問題詳情:
已知△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D、E分別是AB、AC的中點,將△ADE繞點A按順時針方向旋轉一個角度α(0°<α<90°)得到△AD'E′,連接BD′、CE′,如圖1.
(1)求*:BD′=CE';
(2)如圖2,當α=60°時,設AB與D′E′交於點F,求的值.
【回答】
(1)詳見解析;(2).
【分析】
(1)首先依據旋轉的*質和中點的定義*AD′=AE′,然後再利用SAS*△BD′A≌△CE′A,最後,依據全等三角形的*質進行*即可;
(2)連接DD′,先*△ADD′為等邊三角形,然後再*△△ABD′為直角三角形,接下來,再*△BFD′∽△AFE′,最後,依據相似三角形的*質求解即可.
【詳解】
(1)*:∵AB=AC,D、E分別是AB、AC的中點,
∴AD=BD=AE=EC.
由旋轉的*質可知:∠DAD′=∠EAE′=α,AD′=AD,AE′=AE.
∴AD′=AE′,
∴△BD′A≌△CE′A,
∴BD′=CE′.
(2)連接DD′.
∵∠DAD′=60°,AD=AD′,
∴△ADD′是等邊三角形.
∴∠ADD′=∠AD′D=60°,DD′=DA=DB.
∴∠DBD′=∠DD′B=30°,
∴∠BD′A=90°.
∵∠D′AE′=90°,
∴∠BAE′=30°,
∴∠BAE′=∠ABD′,
又∵∠BFD′=∠AFE′,
∴△BFD′∽△AFE′,
∴.
∵在Rt△ABD′中,tan∠BAD′=,
∴.
【點睛】
本題主要考查的是全等三角形的判定和*質、相似三角形的*質和判定、旋轉的*質,發現△BFD′∽△AFE′是解題的關鍵.
知識點:圖形的旋轉
題型:解答題
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