（2019·湖北中考模擬）如圖，PA、PB是⊙O的切線，A，B為切點，D為⊙O上一點．（1）求*：∠P＝180...

問題詳情：

（2019·湖北中考模擬）如圖，PA、PB是⊙O的切線，A，B為切點，D為⊙O上一點．

（1）求*：∠P＝180°﹣2∠D；

（2）如圖，PE∥BD交AD於點E，若DE＝2AE，tan∠OPE＝，⊙O的半徑為2，求AE的長．

【回答】

（1）*見解析；（2）4

【解析】

（1）*：如圖1，連接OA，OB，

∵PA，PB為⊙O的切線，

∴∠OAP＝∠OBP＝90°，

∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣∠AOB＝180°﹣∠AOB，

∵∠AOB＝2∠D，

∴∠P＝180°﹣2∠D；

（2）

如圖2，過點O作OG⊥AD，連接OB，OE，連接OA交PE於點F

由（1）得，∠OPA＝90°﹣∠D

OB⊥PB；OA⊥PA

∴∠POA＝180°﹣90°﹣∠OPA＝∠D

又∵PE∥BD，

∴∠D＝∠PEA

∴∠PEA＝∠POA

∵∠PFO＝∠EFA

∴△OPF∽△EFA

∴∠OPE＝∠OAD

∴tan∠OAD＝tan∠OPE＝

∴OG＝AG

∴在△OAG中，由勾股定理得

AG2+OG2＝OA2⇒，解得AG＝6

∴AD＝12

又∵DE＝2AE

∴AE＝AD＝×12＝4

【點睛】

此題主要考查圓的切線的*質，相似三角形的*質，勾股定理．靈活運用相似三角形邊的比例關係是解題的關鍵．在做涉及圓的題目中，作好輔助線是解題的突破口．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題