如圖，在平面直角座標系中，拋物線y=ax2+bx+c交x軸於A、B兩點，交y軸於點C（0，﹣），OA=1，OB...

問題詳情：

如圖，在平面直角座標系中，拋物線y=ax2+bx+c交x軸於A、B兩點，交y軸於點C（0，﹣），OA=1，OB=4，直線l過點A，交y軸於點D，交拋物線於點E，且滿足tan∠OAD=．

（1）求拋物線的解析式；

（2）動點P從點B出發，沿x軸正方形以每秒2個單位長度的速度向點A運動，動點Q從點A出發，沿*線AE以每秒1個單位長度的速度向點E運動，當點P運動到點A時，點Q也停止運動，設運動時間為t秒．

①在P、Q的運動過程中，是否存在某一時刻t，使得△ADC與△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，請説明理由．

②在P、Q的運動過程中，是否存在某一時刻t，使得△APQ與△CAQ的面積之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，請説明理由．

【回答】

解：（1）∵OA=1，OB=4

∴A（1，0），B（﹣4，0）

設拋物線的解析式為y=a（x+4）（x﹣1）

∵點C（0，﹣）在拋物線上

∴﹣

解得a=

∴拋物線的解析式為y=

（2）存在t，使得△ADC與△PQA相似．

理由：①在Rt△AOC中，OA=1，OC=

則tan∠ACO=

∵tan∠OAD=

∴∠OAD=∠ACO

∵直線l的解析式為y=

∴D（0，﹣）

∵點C（0，﹣）

∴CD=

由AC2=OC2+OA2，得AC=

在△AQP中，AP=AB﹣PB=5﹣2t，AQ=t

由∠PAQ=∠ACD，要使△ADC與△PQA相似

只需或

則有或

解得t1=，t2=

∵t1＜2.5，t2＜2.5

∴存在t=或t=，使得△ADC與△PQA相似

②存在t，使得△APQ與△CAQ的面積之和最大

理由：作PF⊥AQ於點F，CN⊥AQ於N

在△APF中，PF=AP•sin∠PAF=

在△AOD中，由AD2=OD2+OA2，得AD=

在△ADC中，由S△ADC=

∴CN=

∴S△AQP+S△AQC=

=﹣

∴當t=時，△APQ與△CAQ的面積之和最大   

知識點：各地中考

題型：綜合題