已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线交椭圆于，两点，的周长为16，的周长为12.（1）求椭圆的标准方程与离心率；...

问题详情：

已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线交椭圆于，两点，的周长为16，的周长为12.

（1）求椭圆的标准方程与离心率；

（2）若直线与椭圆交于两点，且是线段的中点，求直线的一般方程.

【回答】

 (1) 椭圆E的标准方程为，离心率 (2)

【解析】试题分析：（1）由直线交椭圆于， 两点， 的周长为16， 的周长为12，可得， ，再结合，即可求出， ， 的值，从而求出椭圆的标准方程与离心率；（2）由（1）知，易知直线的斜率存在，设为，设，利用点差法，即可求出，从而求出直线的一般方程.

试题解析：（1）由题知，解得

∴椭圆E的标准方程为，离心率.

（2）由（1）知，

易知直线的斜率存在，设为，设,则

，

∴，

又是线段CD的中点

∴

，

故直线的方程为，化为一般形式即： .

点睛：当遇到直线与椭圆的相交弦中点问题时可以运用点差法，解得直线斜率与中点坐标之间的数量关系，从而可以求出直线方程.

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题