如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,且BC为⊙O的直径,在劣弧上取一点D,使,将△ADC沿AD对折,得到△ADE...
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问题详情:
如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,且BC为⊙O的直径,在劣弧上取一点D,使,将△ADC沿AD对折,得到△ADE,连接CE.
(1)求*:CE是⊙O的切线;
(2)若CEC D,劣弧的弧长为π,求⊙O的半径.
【回答】
(1)见解析;(2)圆的半径为3.
【解析】
(1)在△ACE中,根据三角形内角和为180°,则2α+2β+2γ=180°,即可求解;
(2)*四边形AMCN为矩形,,而AB=x,则
sin∠ABM=,即∠ABM=60°,即可求解.
【详解】
(1)∵,∴∠CAD=∠BCA=α=∠EAD,
设:∠DCA=∠DEA=β,∠DCE=∠DEC=γ,
则△ACE中,根据三角形内角和为180°,
∴2α+2β+2γ=180°,
∴α+β+γ=90°,
∴CE是⊙O的切线;
(2)过点A作AM⊥BC,延长AD交CE于点N,
则DN⊥CE,∴四边形AMCN为矩形,
设:AB=CD=x,则CEx,
则CNCEx=AM,而AB=x,
则sin∠ABM,∴∠ABM=60°,
∴△OAB为等边三角形,即∠AOB=60°,
2πr=π,
解得:r=3,
故圆的半径为3.
【点睛】
本题主要考查的是圆切线的基本*质,涉及到弧长的计算、三角形内角和知识等,综合*较强,难度较大.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题
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