已知函数f(x)=+lnx.(1)当a=时,求f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;(2)若函数g(x)=f...
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已知函数f(x)=+ln x.
(1)当a=时,求f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;
(2)若函数g(x)=f(x)-x在[1,e]上为增函数,求正实数a的取值范围.
【回答】
(1)当a=时,f(x)=+ln x,
f′(x)=,令f′(x)=0,得x=2,
∴当x∈[1,2)时,f′(x)<0,故f(x)在[1,2)上单调递减;
当x∈(2,e]时,f′(x)>0,故f(x)在(2,e]上单调递增,
故f(x)min=f(2)=ln 2-1.
又∵f(1)=0,f(e)=<0.
∴f(x)在区间[1,e]上的最大值f(x)max=f(1)=0.
综上可知,函数f(x)在[1,e]上的最大值是0,最小值是ln 2-1.
(2)∵g(x)=f(x)-x=+ln x-x,
∴g′(x)=(a>0),
设φ(x)=-ax2+4ax-4,由题意知,只需φ(x)≥0在[1,e]上恒成立即可满足题意.
∵a>0,函数φ(x)的图象的对称轴为x=2,
∴只需φ(1)=3a-4≥0,即a≥即可.故正实数a的取值范围为.
知识点:基本初等函数I
题型:解答题
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