如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC,∠ABC=90°,顶点A在第一象限,B,C在x轴的正半轴上(...
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如图1,在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC,∠ABC=90°,顶点A在第一象限,B,C在x轴的正半轴上(C在B的右侧),BC=2,AB=2,△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称.
(1)当OB=2时,求点D的坐标;
(2)若点A和点D在同一个反比例函数的图象上,求OB的长;
(3)如图2,将第(2)题中的四边形ABCD向右平移,记平移后的四边形为A1B1C1D1,过点D1的反比例函数y=(k≠0)的图象与BA的延长线交于点P.问:在平移过程中,是否存在这样的k,使得以点P,A1,D为顶点的三角形是直角三角形?若存在,请直接写出所有符合题意的k的值;若不存在,请说明理由.
【回答】
解:(1)如图1中,作DE⊥x轴于E.
∵∠ABC=90°,
∴tan∠ACB=,
∴∠ACB=60°,
根据对称*可知:DC=BC=2,∠ACD=∠ACB=60°,
∴∠DCE=60°,
∴∠CDE=90°-60°=30°,
∴CE=1,DE=,
∴OE=OB+BC+CE=5,
∴点D坐标为(5,).
(2)设OB=a,则点A的坐标(a,2),
由题意CE=1.DE=,可得D(3+a,),
∵点A、D在同一反比例函数图象上,
∴2a=(3+a),
∴a=3,
∴OB=3.
(3)存在.理由如下:
①如图2中,当∠PA1D=90°时.
∵AD∥PA1,
∴∠ADA1=180°-∠PA1D=90°,
在Rt△ADA1中,∵∠DAA1=30°,AD=2,
∴AA1==4,
在Rt△APA1中,∵∠APA1=60°,
∴PA=,
∴PB=,
设P(m,),则D1(m+7,),
∵P、A1在同一反比例函数图象上,
∴m=(m+7),
解得m=3,
∴P(3,),
∴k=10.
②如图3中,当∠PDA1=90°时.
∵∠PAK=∠KDA1=90°,∠AKP=∠DKA1,
∴△AKP∽△DKA1,
∴.
∴,
∵∠AKD=∠PKA1,
∴△KAD∽△KPA1,
∴∠KPA1=∠KAD=30°,∠ADK=∠KA1P=30°,
∴∠APD=∠ADP=30°,
∴AP=AD=2,AA1=6,
设P(m,4),则D1(m+9,),
∵P、A1在同一反比例函数图象上,
∴4m=(m+9),
解得m=3,
∴P(3,4),
∴k=12.
点睛:本题考查反比例函数综合题、相似三角形的判定和*质、锐角三角函数、解直角三角形、待定系数法等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会了可以参数构建方程解决问题,属于中考压轴题.
知识点:未分类
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