已知橢圓的離心率為，橢圓C的長軸長為4．（1）求橢圓C的方程；（2）已知直線與橢圓C交於A，B兩點，是否存在實...

問題詳情：

已知橢圓的離心率為，橢圓C的長軸長為4．

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知直線與橢圓C交於A， B兩點，是否存在實數k使得以線段AB 為直徑的圓恰好經過座標原點O？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

【回答】

（1）設橢圓的焦半距為c，則由題設，得，

解得，所以，

故所求橢圓C的方程為．

（2）存在實數k使得以線段AB為直徑的圓恰好經過座標原點O．

理由如下：

設點，，

將直線的方程代入，

並整理，得．（*）

則，．

因為以線段AB為直徑的圓恰好經過座標原點O，

所以，即．

又，

於是，解得，

經檢驗知：此時（*）式的Δ＞0，符合題意．

所以當時，以線段AB為直徑的圓恰好經過座標原點O．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題