已知橢圓C：的離心率為,橢圓C的長軸長為4．（1）求橢圓C的方程；（2）已知直線l：與橢圓C交於A,B兩點,是...

問題詳情：

已知橢圓C：的離心率為,橢圓C的長軸長為4．

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知直線l：與橢圓C交於A,B兩點,是否存在實數k使得以線段AB為直徑的圓恰好經過座標原點O？若存在,求出k的值；若不存在,請說明理由．

【回答】

解：（1）設橢圓的焦半距為c，則由題設，得， 解得，所以b2=a2-c2=4-3=1， 故橢圓C的方程為． （2）存在實數k使得以線段AB為直徑的圓恰好經過座標原點O． 理由如下： 設點A（x1，y1），B（x2，y2）， 將直線l的方程代入， 並整理，得．（*） 則，． 因為以線段AB為直徑的圓恰好經過座標原點O， 所以，即x1x2+y1y2=0， 又， 於是，解得， 經檢驗知：此時（*）式的＞0，符合題意． 所以當時，以線段AB為直徑的圓恰好經過座標原點O．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題