已知橢圓:()的短軸長為2,離心率為,直線:與橢圓交於,兩點,且線段的垂直平分線通過點.(1)求橢圓的標準方...
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問題詳情:
已知橢圓: ()的短軸長為2,離心率為,直線: 與橢圓交於, 兩點,且線段的垂直平分線通過點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)當(為座標原點)面積取最大值時,求直線的方程.
【回答】
【*】(1)(2)或或
【解析】試題分析:(1)由已知可得解出即可(2)設,,聯立方程寫出韋達定理,由,,.求出表示式然後根據函式.....................
,.求得面積最大值從而確定直線方程
試題解析:
(1)由已知可得解得,,
故橢圓的標準方程為.
(2)設,,聯立方程
消去得.
當,即時,
,.
所以,.
當時,線段的垂直平分線顯然過點
因為,所以
,當時,取到等號.
則:
當時,因為線段的垂直平分線過點,
所以,化簡整理得.
由得.
又原點到直線的距離為.
所以
而且,則,.
所以當,即時,取得最大值.
綜上的最大值為,
此時直線: 或或
點睛:先根據定義列出相關等式,求解方程即可,對於直線與橢圓的綜合,要熟悉弦長公式,,然後聯立方程寫出表示式,根據函式特徵求出最值從而確定引數的值得出結果.在做此類題型時計算一定要認真仔細.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題
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