如圖,矩形OABC的兩邊在座標軸上,點A的座標為(10,0),拋物線y=ax2+bx+4過點B,C兩點,且與x...
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問題詳情:
如圖,矩形OABC的兩邊在座標軸上,點A的座標為(10,0),拋物線y=ax2+bx+4過點B,C兩點,且與x軸的一個交點為D(﹣2,0),點P是線段CB上的動點,設CP=t(0<t<10).
(1)請直接寫出B、C兩點的座標及拋物線的解析式;
(2)過點P作PE⊥BC,交拋物線於點E,連線BE,當t為何值時,∠PBE=∠OCD?
(3)點Q是x軸上的動點,過點P作PM∥BQ,交CQ於點M,作PN∥CQ,交BQ於點N,當四邊形PMQN為正方形時,請求出t的值.
【回答】
解:
(1)在y=ax2+bx+4中,令x=0可得y=4,
∴C(0,4),
∵四邊形OABC為矩形,且A(10,0),
∴B(10,4),
把B、D座標代入拋物線解析式可得,解得,
∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+4;
(2)由題意可設P(t,4),則E(t,﹣t2+t+4),
∴PB=10﹣t,PE=﹣t2+t+4﹣4=﹣t2+t,
∵∠BPE=∠COD=90°,∠PBE=∠OCD,
∴△PBE∽△OCD,
∴=,即BPOD=COPE,
∴2(10﹣t)=4(﹣t2+t),解得t=3或t=10(不合題意,捨去),
∴當t=3時,∠PBE=∠OCD;
(3)當四邊形PMQN為正方形時,則∠PMC=∠PNB=∠CQB=90°,PM=PN,
∴∠CQO+∠AQB=90°,
∵∠CQO+∠OCQ=90°,
∴∠OCQ=∠AQB,
∴Rt△COQ∽Rt△QAB,
∴=,即OQAQ=COAB,
設OQ=m,則AQ=10﹣m,
∴m(10﹣m)=4×4,解得m=2或m=8,
①當m=2時,CQ==2,BQ==4,
∴sin∠BCQ==,sin∠CBQ==,
∴PM=PCsin∠PCQ=t,PN=PBsin∠CBQ=(10﹣t),
∴t=(10﹣t),解得t=,
②當m=8時,同理可求得t=,
∴當四邊形PMQN為正方形時,t的值為或.
知識點:相似三角形
題型:解答題
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