如圖，已知等邊△ABC，AB=12，以AB為直徑的半圓與BC邊交於點D，過點D作DF⊥AC，垂足為F，過點F作...

問題詳情：

如圖，已知等邊△ABC，AB=12，以AB為直徑的半圓與BC邊交於點D，過點D作DF⊥AC，垂足為F，過點F作FG⊥AB，垂足為G，連結GD．

（1）求*：DF是⊙O的切線；

（2）求FG的長；

（3）求tan∠FGD的值．

【回答】

（1）*：連結OD，如圖，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠C=∠A=∠B=60°，而OD=OB，

∴△ODB是等邊三角形，∠ODB=60°，

∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切線；             ………………………………3分

（2）∵OD∥AC，點O為AB的中點，∴OD為△ABC的中位線，∴BD=CD=6．

在Rt△CDF中，∠C=60°，∴∠CDF=30°，∴CF=CD=3，∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9，

在Rt△AFG中，∵∠A=60°，∴FG=AF×sinA=9×；     …………………………6分

（3）過D作DH⊥AB於H．∵FG⊥AB，DH⊥AB，∴FG∥DH，∴∠FGD=∠GDH．

在Rt△BDH中，∠B=60°，∴∠BDH=30°，∴BH=BD=3，DH=BH=3．

在Rt△AFG中，∵∠AFG=30°，∴AG=AF=，∵GH=AB﹣AG﹣BH=12﹣﹣3=，

∴tan∠GDH=，∴tan∠FGD=tan∠GDH=．         ………………10分

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題