如圖,先有一張矩形紙片ABCD,AB=4,BC=8,點M,N分別在矩形的邊AD,BC上,將矩形紙片沿直線MN折...
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問題詳情:
如圖,先有一張矩形紙片ABCD,AB=4,BC=8,點M,N分別在矩形的邊AD,BC上,將矩形紙片沿直線MN摺疊,使點C落在矩形的邊AD上,記為點P,點D落在G處,連線PC,交MN於點Q,連線CM.下列結論:
①CQ=CD;
②四邊形CMPN是菱形;
③P,A重合時,MN=2;
④△PQM的面積S的取值範圍是3≤S≤5.
其中正確的是 (把正確結論的序號都填上).
【回答】
②③
【分析】先判斷出四邊形CFHE是平行四邊形,再根據翻折的*質可得CN=NP,然後根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形*,判斷出②正確;假設CQ=CD,得Rt△CMQ≌△CMD,進而得∠DCM=∠QCM=∠BCP=30°,這個不一定成立,判斷①錯誤;點P與點A重合時,設BN=x,表示出AN=NC=8﹣x,利用勾股定理列出方程求解得x的值,進而用勾股定理求得MN,判斷出③正確;當MN過D點時,求得四邊形CMPN的最小面積,進而得S的最小值,當P與A重合時,S的值最大,求得最大值便可.
【解答】解:如圖1,
∵PM∥CN,
∴∠PMN=∠MNC,
∵∠MNC=∠PNM,
∴∠PMN=∠PNM,
∴PM=PN,
∵NC=NP,
∴PM=CN,
∵MP∥CN,
∴四邊形CNPM是平行四邊形,
∵CN=NP,
∴四邊形CNPM是菱形,故②正確;
∴CP⊥MN,∠BCP=∠MCP,
∴∠MQC=∠D=90°,
∵CP=CP,
若CQ=CD,則Rt△CMQ≌△CMD,
∴∠DCM=∠QCM=∠BCP=30°,這個不一定成立,
故①錯誤;
點P與點A重合時,如圖2,
設BN=x,則AN=NC=8﹣x,
在Rt△ABN中,AB2+BN2=AN2,
即42+x2=(8﹣x)2,
解得x=3,
∴CN=8﹣3=5,AC=,
∴,
∴,
∴MN=2QN=2.
故③正確;
當MN過點D時,如圖3,
此時,CN最短,四邊形CMPN的面積最小,則S最小為S=,
當P點與A點重合時,CN最長,四邊形CMPN的面積最大,則S最大為S=,
∴4≤S≤5,
故④錯誤.
故*為:②③.
【點評】此題是四邊形綜合題,主要考查了摺疊問題與菱形的判定與*質、勾股定理的綜合應用,熟練掌握菱形的判定定理和*質定理、勾股定理是解本題的關鍵.
知識點:各地會考
題型:填空題
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