如圖，定義：以橢圓中心為圓心，長軸為直徑的圓叫做橢圓的“輔圓”.過橢圓第一象限內一點P作x軸的垂線交其“輔圓”...

問題詳情：

如圖，定義：以橢圓中心為圓心，長軸為直徑的圓叫做橢圓的“輔圓”.過橢圓第一象限內一點P作x軸的垂線交其“輔圓”於點Q，當點Q在點P的上方時，稱點Q為點P的“上輔點”.已知橢圓上的點的上輔點為.

（1）求橢圓E的方程；

（2）若的面積等於，求上輔點Q的座標；

（3）過上輔點Q作輔圓的切線與x軸交於點T，判斷直線PT與橢圓E的位置關係，並*你的結論.

【回答】

（1）；（2）；（3）直線PT與橢圓相切，*見解析

【解析】

【分析】

（1）根據定義直接求解即可；（2）設點，，則點，，則可得到，再根據的面積可得到，進一步與橢圓方程聯立即得解；（3）表示出直線的方程，與橢圓方程聯立，再判斷△即可得出結論．

【詳解】

（1）橢圓上的點的上輔點為，

輔圓的半徑為，橢圓長半軸為，

將點代入橢圓方程中，解得，

橢圓的方程為；

（2）設點，，則點，，將兩點座標分別代入輔圓方程和橢圓方程可得，，，

故，即，

又，則，

將與聯立可解得，則，

點的座標為；

（3）直線與橢圓相切，*如下：

設點，，由（2）可知，，

與輔圓相切於點的直線方程為，則點，

直線的方程為：，整理得，

將與橢圓聯立並整理可得，，

由一元二次方程的判別式，可知，上述方程只有一個解，故直線與橢圓相切．

【點睛】

本題以新概念為載體，旨在考查直線與圓、直線與橢圓的位置關係，考查通*通法的運用，計算量較大，對計算能力的要求較高，屬於較難題目．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題