以橢圓C：+=1（a＞b＞0）的中心O為圓心，以為半徑的圓稱為該橢圓的“伴隨”．（1）若橢圓C的離心率為，其“...

問題詳情：

以橢圓C：+=1（a＞b＞0）的中心O為圓心，以為半徑的圓稱為該橢圓的“伴隨”．

（1）若橢圓C的離心率為，其“伴隨”與直線x+y﹣2=0相切，求橢圓C的方程．

（2）設橢圓E：+=1，P為橢圓C上任意一點，過點P的直線y=kx+m交橢圓E於AB兩點，*線PO交橢圓E於點Q．

（i）求的值；           （ii）求△ABQ面積的最大值．

【回答】

解：（1）∵橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，其“伴隨”與直線x+y﹣2=0相切，

∴，解得a=2，b=1，

∴橢圓C的方程為=1．

（2）由（1）知橢圓E的方程為+=1，

（i）設P（x0，y0），|=λ，由題意可知，

Q（﹣λx0，﹣λy0），由於+y02=1，

又+=1，即（+y02）=1，

所以λ=2，即|=2；

（ii）設A（x1，y1），B（x2，y2），將直線y=kx+m代入橢圓E的方程，可得

（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，由△＞0，可得m2＜4+16k2，①

則有x1+x2=﹣，x1x2=，

所以|x1﹣x2|=，

由直線y=kx+m與y軸交於（0，m），

則△AOB的面積為S=|m|•|x1﹣x2|=|m|•=2，

設=t，則S=2，

將直線y=kx+m代入橢圓C的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，

由△＞0可得m2＜1+4k2，②

由①②可得0＜t＜1，則S=2在（0，1）遞增，即有t=1取得最大值，

即有S，即m2=1+4k2，取得最大值2，

由（i）知，△ABQ的面積為3S，

即△ABQ面積的最大值為6．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題