如图,AB是⊙O的直径,点C在AB的延长线上,CD与⊙O相切于点D,CE⊥AD,交AD的延长线于点E.(1)求...
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如图,AB是⊙O的直径,点C在AB的延长线上,CD与⊙O相切于点D,CE⊥AD,交AD的延长线于点E.
(1)求*:∠BDC=∠A;
(2)若CE=2,DE=2,求AD的长.
(3)在(2)的条件下,求弧BD的长.
【回答】
【考点】MC:切线的*质;MN:弧长的计算.
【分析】(1)连接OD,由CD是⊙O切线,得到∠ODC=90°,根据AB为⊙O的直径,得到∠ADB=90°,等量代换得到∠BDC=∠ADO,根据等腰三角形的*质得到∠ADO=∠A,即可得到结论;
(2)根据垂直的定义得到∠E=∠ADB=90°,根据平行线的*质得到∠DCE=∠BDC,根据相似三角形的*质得到=,解方程即可得到结论;
(3)利用三角函数求得∠DCE的度数,根据△AEC∽△CED,求得∠A的度数,则∠DIB即可求得,然后在直角△ABD中求得BD,从而求得半径,然后利用弧长公式求解.
【解答】(1)*:连接OD,
∵CD是⊙O切线,
∴∠ODC=90°,
即∠ODB+∠BDC=90°,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
即∠ODB+∠ADO=90°,
∴∠BDC=∠ADO,
∵OA=OD,
∴∠ADO=∠A,
∴∠BDC=∠A;
(2)∵CE⊥AE,
∴∠E=∠ADB=90°,
∴DB∥EC,
∴∠DCE=∠BDC,
∵∠BDC=∠A,
∴∠A=∠DCE,
∵∠E=∠E,
∴△AEC∽△CED,
∴=,
∴EC2=DE•AE,
∴(2)2=2(2+AD),
∴AD=4.
(3)∵直角△CDE中,tan∠DCE===,
∴∠DCE=30°,
又∵△AEC∽△CED,
∴∠A=∠DCE=30°,
∴∠DOB=2∠A=60°,BD=AD•tanA=4×=,
∴△OBD是等边三角形,则OD=BD=,
则弧BD的长是=.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题
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