阅读下列材料:已知:如图1,等边△A1A2A3内接于⊙O,点P是上的任意一点,连接PA1,PA2,PA3,可*...
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阅读下列材料:
已知:如图1,等边△A1A2A3内接于⊙O,点P是上的任意一点,连接PA1,PA2,PA3,可*:PA1+PA2=PA3,从而得到:是定值.
(1)以下是小红的一种*方法,请在方框内将*过程补充完整;
*:如图1,作∠PA1M=60°,A1M交A2P的延长线于点M.
∵△A1A2A3是等边三角形,
∴∠A3A1A2=60°,
∴∠A3A1P=∠A2A1M
又A3A1=A2A1,∠A1A3P=∠A1A2P,
∴△A1A3P≌△A1A2M
∴PA3=MA2=PA2+PM=PA2+PA1.
∴,是定值.
(2)延伸:如图2,把(1)中条件“等边△A1A2A3”改为“正方形A1A2A3A4”,其余条件不变,请问:还是定值吗?为什么?
(3)拓展:如图3,把(1)中条件“等边△A1A2A3”改为“正五边形A1A2A3A4A5”,其余条件不变,则= (只写出结果).
【回答】
(1)*见解析;(2)是定值,理由见解析;(3)
【解析】
分析:(2)结论:是定值.在A4P上截取AH=A2P,连接HA1.*PA4=A4+PH=PA2+PA1,同法可*:PA3=PA1+PA2,推出(+1)(PA1+PA2)=PA3+PA4,可得PA1+PA2=(-1)(PA3+PA4),即可解决问题;
(3)结论:则.如图3-1中,延长PA1到H,使得A1H=PA2,连接A4H,A4A2,A4A1.由△HA4A1≌△PA4A2,可得△A4HP是顶角为36°的等腰三角形,推出PH=PA4,即PA1+PA2=PA4,如图3-2中,延长PA5到H,使得A5H=PA3.同法可*:△A4HP是顶角为108°的等腰三角形,推出PH=PA4,即PA5+PA3=PA4,即可解决问题;
详解:(1)如图1,作∠PA1M=60°,A1M交A2P的延长线于点M.
∵△A1A2A3是等边三角形,
∴∠A3A1A2=60°,
∴∠A3A1P=∠A2A1M
又A3A1=A2A1,∠A1A3P=∠A1A2P,
∴△A1A3P≌△A1A2M
∴PA3=MA2,
∵PM=PA1,
∴PA3=MA2=PA2+PM=PA2+PA1.
∴,是定值.
(2)结论:是定值.
理由:在A4P上截取AH=A2P,连接HA1.
∵四边形A1A2A3A4是正方形,
∴A4A1=A2A1,
∵∠A1A4H=∠A1A2P,A4H=A2P,
∴△A1A4H=△A1A2P,
∴A1H=PA1,∠A4A1H=∠A2A1P,
∴∠HA1P=∠A4A1A2=90°
∴△HA1P的等腰直角三角形,
∴PA4=HA4+PH=PA2+PA1,
同法可*:PA3=PA1+PA2,
∴(+1)(PA1+PA2)=PA3+PA4,
∴PA1+PA2=(-1)(PA3+PA4),
∴.
(3)结论:则.
理由:如图3-1中,延长PA1到H,使得A1H=PA2,连接A4H,A4A2,A4A1.
由△HA4A1≌△PA4A2,可得△A4HP是顶角为36°的等腰三角形,
∴PH=PA4,即PA1+PA2=PA4,
如图3-2中,延长PA5到H,使得A5H=PA3.
同法可*:△A4HP是顶角为108°的等腰三角形,
∴PH=PA4,即PA5+PA3=PA4,
∴.
点睛:本题考查圆综合题、正方形的*质、正五边形的*质、全等三角形的判定和*质等正整数,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.
知识点:正多边形和圆
题型:解答题
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