如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点.若使点P，M，N构成等...

问题详情：

如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点.若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是________.

【回答】

x=0或x=4-4 或4＜x<4

【详解】

以MN为底边时，可作MN的垂直平分线，与OB的必有一个交点P1 ，且MN=4，以M为圆心MN为半径画圆，以N为圆心MN为半径画圆，①如下图，当M与点O重合时，即x=0时，除了P1 ，当MN=MP，即为P3；当NP=MN时，即为P2；

只有3个点P；

②当0＜x＜4时，如下图，圆N与OB相切时，NP2=MN=4，且NP2⊥OB，此时MP3=4，则OM=ON-MN= NP2-4= ．

③因为MN=4，所以当x>0时，MN＜ON，则MN=NP不存在，除了P1外，当MP=MN=4时，过点M作MD⊥OB于D，当OM=MP=4时，圆M与OB刚好交OB两点P2和P3，P3不能与M,N构成三角形，故舍去，所以x=4不满足题意；

当MD=MN=4时，圆M与OB只有一个交点，此时OM=MD=，故4≤x＜．

与OB有两个交点P2和P3，故*为x=0或x=或4＜x＜．

考点：相交两圆的*质；分类讨论；综合题．

知识点：等腰三角形

题型：填空题