定义：如图1，点P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与*线OA，OB交于M，N两点，若∠MPN绕点P旋...

问题详情：

定义：如图1，点P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与*线OA，OB交于M，N两点，若∠MPN绕点P旋转时始终满足OM•ON＝OP2，则称∠MPN是∠AOB的“相关角”．

（1）如图1，已知∠AOB＝60°，点P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与*线OA，OB交于M，N两点，且∠MPN＝150°．求*：∠MPN是∠AOB的“相关角”；

（2）如图2，已知∠AOB＝α（0°α90°），OP＝3，若∠MPN是∠AOB的“相关角”，连结MN，用含α的式子分别表示∠MPN的度数和△MON的面积；

（3）如图3，C是函数（x0）图象上的一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于点A，B两点，且满足BC＝3CA，∠AOB的“相关角”为∠APB，请直接写出OP的长及相应点P的坐标．

【回答】

（1）见解析；（2）；（3），P点坐标为或

【解析】

【分析】

（1）由角平分线求出∠MOP＝∠NOP＝∠AOB＝30°，再*出∠OMP＝∠OPN，*△MOP∽△PON，即可得出结论；

（2）由∠MPN是∠AOB的“相关角”，判断出△MOP∽△PON，得出∠OMP＝∠OPN，即可得出∠MPN＝180°﹣α；过点M作MH⊥OB于H，由三角形的面积公式得出：S△MON＝ON•MH，即可得出结论；

（3）设点C（a，b），则ab＝3，过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：①当点B在y轴正半轴上时；当点A在x轴的负半轴上时，BC＝3CA不可能；当点A在x轴的正半轴上时；先求出，由平行线得出△ACH∽△ABO，得出比例式：，得出OB，OA，求出OA•OB，根据∠APB是∠AOB的“相关角”，得出OP，即可得出点P的坐标；②当点B在y轴的负半轴上时；同①的方法即可得出结论．

【详解】

（1）*：∵∠AOB＝60°，P为∠AOB的平分线上一点，

∴∠AOP＝∠BOP＝∠AOB＝30°，

∵∠MOP+∠OMP+∠MPO＝180°，

∴∠OMP+∠MPO＝150°，

∵∠MPN＝150°，

∴∠MPO+∠OPN＝150°，

∴∠OMP＝∠OPN，

∴△MOP∽△PON，

∴，

∴OP2＝OM•ON，

∴∠MPN是∠AOB的“相关角”；

（2）解：∵∠MPN是∠AOB的“相关角”，

∴OM•ON＝OP2，

∴，

∵P为∠AOB的平分线上一点，

∴∠MOP＝∠NOP＝α，

∴△MOP∽△PON，

∴∠OMP＝∠OPN，

∴∠MPN＝∠OPN+∠OPM＝∠OMP+∠OPM＝180°﹣α，

即∠MPN＝180°﹣α；

过点M作MH⊥OB于H，如图2，

则S△MON＝ON•MH＝ON•OMsinα＝OP2•sinα，

∵OP＝3，

∴S△MON＝sinα；

（3）设点C（a，b），则ab＝4，

过点C作CH⊥OA于H；分两种情况：

①当点B在y轴正半轴上时；

Ⅰ、当点A在x轴的负半轴上，如图3所示：

BC＝3CA不可能，

Ⅱ、当点A在x轴的正半轴上时，如图4所示：

∵BC＝3CA，

∴，

∵CHOB，

∴△ACH∽△ABO，

∴，

∴,

∴OB＝4b，OA＝a，

∴OA•OB＝a•4b＝ab＝，

∵∠APB是∠AOB的“相关角”，

∴OP2＝OA•OB，

∴，

∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，

∴点P的坐标为：；

②当点B在y轴的负半轴上时，如图5所示：

∵BC＝3CA，

∴AB＝2CA，

∴，

∵CHOB，

∴△ACH∽△ABO，

∴，

∴

∴OB＝2b，OA＝a，

∴OA•OB＝a•2b＝ab＝，

∵∠APB是∠AOB的“相关角”，

∴OP2＝OA•OB，

∴，

∵∠AOB＝90°，OP平分∠AOB，

∴点P的坐标为：；

综上所述：点P的坐标为：或．

【点睛】

本题考查反比例函数与几何综合，掌握数形结合和分类讨论的思想是解题的关键．

知识点：反比例函数单元测试

题型：解答题