定义在封闭的平面区域内任意两点的距离的最大值称为平面区域的“直径”.已知锐角三角形的三个顶点在半径为1的圆上,...
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定义在封闭的平面区域内任意两点的距离的最大值称为平面区域的“直径”.已知锐角三角形的三个顶点在半径为1的圆上,且,分别以各边为直径向外作三个半圆,这三个半圆和构成平面区域,则平面区域的“直径”的最大值是__________.
【回答】
【解析】
【分析】
画出几何图形,运用边的关系转化为求周长的最值,结合正余弦定理及基本不等式求解即可.
【详解】设三个半圆圆心分别为G,F,E,半径分别为M,P,N分别为半圆上的动点,则PM≤+GF= +=,当且仅当M,G,F,P共线时取等;同理:PN ≤MN≤,又外接圆半径为1,,所以,∴BC=a=2sin=,由余弦定理解b+c≤2,当且仅当b=c=取等;故
故*为
【点睛】本题考查正余弦定理,基本不等式,善于运用数形结合思想运用几何关系转化问题是关键,是难题.
知识点:解三角形
题型:填空题
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