已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（1，9），经过抛物线上的两点A（﹣3，﹣7）和B（...

问题详情：

已知，如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（1，9），经过抛物线上的两点A（﹣3，﹣7）和B（3，m）的直线交抛物线的对称轴于点C．

（1）求抛物线的解析式和直线AB的解析式．

（2）在抛物线上A、M两点之间的部分（不包含A、M两点），是否存在点D，使得S△DAC＝2S△DCM？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P的坐标．

【回答】

解：（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+9，

将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣1，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8…①，

则点B（3，5），

将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：

直线AB的表达式为：y＝2x﹣1；

（2）存在，理由：

二次函数对称轴为：x＝1，则点C（1，1），

过点D作y轴的平行线交AB于点H，

设点D（x，﹣x2+2x+8），点H（x，2x﹣1），

∵S△DAC＝2S△DCM，

则S△DAC＝DH（xC﹣xA）＝（﹣x2+2x+8﹣2x+1）（1+3）＝（9﹣1）（1﹣x）×2，

解得：x＝﹣1或5（舍去5），

故点D（﹣1，5）；

（3）设点Q（m，0）、点P（s，t），t＝﹣s2+2s+8，

①当AM是平行四边形的一条边时，

点M向左平移4个单位向下平移16个单位得到A，

同理，点Q（m，0）向左平移4个单位向下平移16个单位为（m﹣4，﹣16），即为点P，

即：m﹣4＝s，﹣6＝t，而t＝﹣s2+2s+8，

解得：s＝6或﹣4，

故点P（6，﹣16）或（﹣4，﹣16）；

②当AM是平行四边形的对角线时，

由中点公式得：m+s＝﹣2，t＝2，而t＝﹣s2+2s+8，

解得：s＝1，

故点P（1，2）或（1﹣，2）；

综上，点P（6，﹣16）或（﹣4，﹣16）或（1，2）或（1﹣，2）．

知识点：各地中考

题型：综合题