（2019·湖南中考模拟）如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0...

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（2019·湖南中考模拟）如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；

（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

（1）y==x2-4x+3；

（2）AS△ACD=2；

（3）①∠DFE=90°时，E1（2+,1-）; E2（2-,1+）；②∠EDF=90°时，E3（1，2）、E4（4，-1）．

【解析】

解：（1）依题意，设抛物线的解析式为 y=a（x-2）2-1，代入C（O，3）后，得： a（0-2）2-1=3，a=1 ∴抛物线的解析式：y=（x-2）2-1=x2-4x+3．（2）由（1）知，A（1，0）、B（3，0）；设直线BC的解析式为：y=kx+3，代入点B的坐标后，得： 3k+3=0，k=-1 ∴直线BC：y=-x+3；由（1）知：抛物线的对称轴：x=2，则 D（2，1）； ∴AD==，AC==，CD==2，即：AC2=AD2+CD2，△ACD是直角三角形，且AD⊥CD； ∴S△ACD=AD•CD=××2=2．（3）由题意知：EF∥y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB与△FED相似，则有： ①∠DFE=90°，即 DF∥x轴；将点D纵坐标代入抛物线的解析式中，得： x2-4x+3=1，解得 x=2±；当x=2+时，y=-x+3=1-；当x=2-时，y=-x+3=1+； ∴E1（2+，1-）、E2（2-，1+）． ②∠EDF=90°；易知，直线AD：y=x-1，联立抛物线的解析式有： x2-4x+3=x-1， x2-5x+4=0，解得 x1=1、x2=4；当x=1时，y=-x+3=2；当x=4时，y=-x+3=-1； ∴E3（1，2）、E4（4，-1）；综上，存在符合条件的点E，且坐标为：（2+，1-）、（2-，1+）、（1，2）或（4，-1）． “点睛”此题主要考查了函数解析式的确定、图形面积的解法以及相似三角形的判定和*质等知识；需要注意的是，已知两个三角形相似时，若对应边不相同，那么得到的结果就不一定相同，所以一定要进行分类讨论．