如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(1,0)、C(﹣2,3)两点,与y轴交于点N,其顶点为D...
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如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(1,0)、C(﹣2,3)两点,与y轴交于点N,其顶点为D.
(1)求抛物线及直线AC的函数关系式;
(2)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标;
(3)在对称轴上是否存在一点M,使△ANM的周长最小.若存在,请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值;若不存在,请说明理由.
【回答】
(1)y=﹣x2﹣2x+3;y=﹣x+1;(2)当x=﹣时,△APC的面积取最大值,最大值为,此时点P的坐标为(﹣,);(3)在对称轴上存在一点M(﹣1,2),使△ANM的周长最小,△ANM周长的最小值为3.
【分析】
(1)根据点A,C的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式;(2)过点P作PE∥y轴交x轴于点E,交直线AC于点F,过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q,设点P的坐标为(x,﹣x2﹣2x+3)(﹣2<x<1),则点E的坐标为(x,0),点F的坐标为(x,﹣x+1),进而可得出PF的值,由点C的坐标可得出点Q的坐标,进而可得出AQ的值,利用三角形的面积公式可得出S△APC=﹣x2﹣x+3,再利用二次函数的*质,即可解决最值问题;(3)利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标,利用*法可找出抛物线的对称轴,由点C,N的坐标可得出点C,N关于抛物线的对称轴对称,令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M,则此时△ANM周长取最小值,再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标,以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论.
【详解】
(1)将A(1,0),C(﹣2,3)代入y=﹣x2+bx+c,得:
,解得:,
∴抛物线的函数关系式为y=﹣x2﹣2x+3;
设直线AC的函数关系式为y=mx+n(m≠0),
将A(1,0),C(﹣2,3)代入y=mx+n,得:
,解得:,
∴直线AC的函数关系式为y=﹣x+1.
(2)过点P作PE∥y轴交x轴于点E,交直线AC于点F,过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q,如图1所示.
设点P的坐标为(x,﹣x2﹣2x+3)(﹣2<x<1),则点E的坐标为(x,0),点F的坐标为(x,﹣x+1),
∴PE=﹣x2﹣2x+3,EF=﹣x+1,EF=PE﹣EF=﹣x2﹣2x+3﹣(﹣x+1)=﹣x2﹣x+2.
∵点C的坐标为(﹣2,3),
∴点Q的坐标为(﹣2,0),
∴AQ=1﹣(﹣2)=3,
∴S△APC=AQ•PF=﹣x2﹣x+3=﹣(x+)2+ .
∵﹣<0,
∴当x=﹣时,△APC的面积取最大值,最大值为,此时点P的坐标为(﹣, ).
(3)当x=0时,y=﹣x2﹣2x+3=3,
∴点N的坐标为(0,3).
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1.
∵点C的坐标为(﹣2,3),
∴点C,N关于抛物线的对称轴对称.
令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M,如图2所示.
∵点C,N关于抛物线的对称轴对称,
∴MN=CM,
∴AM+MN=AM+MC=AC,
∴此时△ANM周长取最小值.
当x=﹣1时,y=﹣x+1=2,
∴此时点M的坐标为(﹣1,2).
∵点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(﹣2,3),点N的坐标为(0,3),
∴AC= =3,AN= =,
∴C△ANM=AM+MN+AN=AC+AN=3+.
∴在对称轴上存在一点M(﹣1,2),使△ANM的周长最小,△ANM周长的最小值为3+.
【点睛】
本题考查待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的*质、三角形的面积以及周长,解题的关键是:(1)根据点的坐标,利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式;(2)利用三角形的面积公式找出S△APC=﹣x2﹣x+3的最值;(3)利用二次函数图象的对称*结合两点之间线段最短找出点M的位置.
知识点:二次函数的图象和*质
题型:解答题
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