如图，已知抛物线y＝﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．（...

问题详情：

如图，已知抛物线y＝﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．

（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；

（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+4的图象经过点A（﹣2，0），

∴﹣×（﹣2）2+b×（﹣2）+4＝0，

解得：b＝，

∴抛物线解析式为 y＝﹣x2+x+4，

又∵y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣3）2+，

∴对称轴方程为：x＝3．

（2）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0，得y＝4，

∴C（0，4）；

令y＝0，即﹣x2+x+4＝0，整理得x2﹣6x﹣16＝0，

解得：x＝8或x＝﹣2，

∴A（﹣2，0），B（8，0）．

设直线BC的解析式为y＝kx+b，

把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：

，

解得：，

∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4．

（3）存在，

理由：∵抛物线的对称轴方程为：x＝3，

可设点Q（3，t），∵A（﹣2，0），C（0，4），

∴AC＝2，AQ＝，CQ＝．

①当AQ＝CQ时，

有＝，

25+t2＝t2﹣8t+16+9，

解得t＝0，

∴Q1（3，0）；

②当AC＝AQ时，

有2＝，

∴t2＝﹣5，此方程无实数根，

∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；

③当AC＝CQ时，

有2＝，

整理得：t2﹣8t+5＝0，

解得：t＝4±，

∴点Q坐标为：Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．

综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题