如图，已知抛物线y=ax2﹣x+c与x轴相交于A、B两点，并与直线y=x﹣2交于B、C两点，其中点C是直线y=...

问题详情：

如图，已知抛物线y=ax2﹣x+c与x轴相交于A、B两点，并与直线y=x﹣2交于B、C两点，其中点C是直线y=x﹣2与y轴的交点，连接AC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）*：△ABC为直角三角形；

（3）△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG？（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．

【回答】

【解答】（1）解：∵直线y=x﹣2交x轴、y轴于B、C两点，

∴B（4，0），C（0，﹣2），

∵y=ax2﹣x+c过B、C两点，

∴，

解得，

∴y=x2﹣x﹣2．

（2）*：如图1，连接AC，

∵y=x2﹣x﹣2与x负半轴交于A点，

∴A（﹣1，0），

在Rt△AOC中，

∵AO=1，OC=2，

∴AC=，

在Rt△BOC中，

∵BO=4，OC=2，

∴BC=2，

∵AB=AO+BO=1+4=5，

∴AB2=AC2+BC2，

∴△ABC为直角三角形．

（3）解：△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG，面积为，理由如下：

①一点为C，AB、AC、BC边上各有一点，如图2，此时△AGF∽△ACB∽△FEB．

设GC=x，AG=﹣x，

∵，

∴，

∴GF=2﹣2x，

∴S=GC•GF=x•（2）=﹣2x2+2x=﹣2[（x﹣）2﹣]=﹣2（x﹣）2+，

即当x=时，S最大，为．

②AB边上有两点，AC、BC边上各有一点，如图3，此时△CDE∽△CAB∽△GAD，

设GD=x，

∵，

∴，

∴AD=x，

∴CD=CA﹣AD=﹣x，

∵，

∴，

∴DE=5﹣x，

∴S=GD•DE=x•（5﹣x）=﹣x2+5x=﹣ [（x﹣1）2﹣1]=﹣（x﹣1）2+，

即x=1时，S最大，为．

综上所述，△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG，面积为．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题