如图，抛物线1=x2+bx+c与x轴交于点A、B，交y轴于点C（0，﹣2），且抛物线对称轴x=﹣2交x轴于点D...

问题详情：

如图，抛物线1=x2+bx+c与x轴交于点A、B，交y轴于点C（0，﹣2），且抛物线对称轴x=﹣2交x轴于点D，E是抛物线在第3象限内一动点．

（1）求抛物线y1的解析式；

（2）将△OCD沿CD翻折后，O点对称点O′是否在抛物线y1上？请说明理由．

（3）若点E关于直线CD的对称点E′恰好落在x轴上，过E′作x轴的垂线交抛物线y1于点F，①求点F的坐标；②直线CD上是否存在点P，使|PE﹣PF|最大？若存在，试写出|PE﹣PF|最大值．

【回答】

（1）PM=PN,PM⊥PN.                 

(2) ∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，

∴AC=BC,EC=CD,

∠ACB=∠ECD=90°．

∴∠ACB +∠BCE=∠ECD +∠BCE．

∴∠ACE=∠BCD．

∴△ACE≌△BCD．

∴AE=BD，∠CAE=∠CBD． 　　　　　………４分

又∵∠AOC=∠BOE，

∠CAE=∠CBD，

∴∠BHO=∠ACO=90°.    　　　　　………５分         

第25题图②

∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，

∴PM=BD， PM∥BD；

PN=AE，　PN∥AE.

∴PM=PN．　　　　　　　　　　　　………６分

∴∠MGE+∠BHA=180°．

∴∠MGE=90°．

∴∠MPN=90°．

∴PM⊥PN．                         ………8分   

(3)  PM = kPN                          ………9分     

∵△ACB和△ECD是直角三角形，

∴∠ACB=∠ECD=90°．

∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．

∴∠ACE=∠BCD．

∵BC=kAC，CD=kCE，

∴．

第25题图③

∴△BCD∽△ACE．

∴BD = kAE．                         ………11分

∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，

∴PM=BD，PN=AE．

∴PM = kPN ．                        ………12分

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题