已知抛物线y=x2+4x+3交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧),交y轴于点C,抛物线的对称轴l交x轴于点E...
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已知抛物线y=x2+4x+3交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧),交y轴于点C,抛物线的对称轴l交x轴于点E.
(1)求抛物线的对称轴及点A的坐标;
(2)点P为坐标系内一点,且以点A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形,求出所有满足条件的P点的坐标.
(3)连接CA与L交于点D,M为抛物线上一点,是否存在点M,使经过点C、M的直线恰好将四边形DEOC的面积平分?若存在,请求出直线CM的解析式;若不存在,请说明理由.
第8题图
【回答】
解:(1)对称轴为直线x=-=-2,
当y=0时,有x2+4x+3=0,解得x1=-1,x2=-3,
∴点A的坐标为(-3,0);
(2)由y=x2+4x+3可知A(-3,0),B(-1,0),C(0,3),
①当AC是平行四边形的对角线时,将点C向左平移两个单位长度即是P点,即P(-2,3);
②当BC是平行四边形的对角线时,将点C向右平移两个单位长度即是P点,即P(2,3);
③当AB是平行四边形的对角线时,将点A向下平移三个单位长度再向左平移1个单位长度即是P点,即P(-4,-3);
满足条件的点P有3个,分别为(-2,3),(2,3),(-4,-3);
(3)存在;
∵点C的坐标为(0,3),
又DE∥y轴,AO=3,EO=2,AE=1,CO=3,
∴△AED∽△AOC,
∴=,即=,
∴DE=1,
∴S四边形DEOC=×(1+3)×2=4,
在OE上找点F,使OF=,
此时S△COF=××3=2,
直线CF把四边形DEOC分成面积相等的两部分,交抛物线于点M,
设直线CM的解析式为y=kx+3,它经过点F(-,0),
则-k+3=0,解得k=,
∴直线CM的解析式为y=x+3.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题
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