如图，在□ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F；再分别以点B、F为圆心，大于BF的相同...

问题详情：

    如图，在□ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F；再分别以点B、F为圆心，大于BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF，则所得四边形ABEF是菱形．

    （1）根据以上尺规作图的过程，求*四边形ABEF是菱形；

    （2）若菱形ABEF的周长为16，AE＝4，求∠C的大小．

   

【回答】

思路分析：（1）要*四边形ABEF是菱形，先考虑*ABEF是平行四边形，已知BE∥AF，设法补充BE＝AF即可；（2）由于四边形ABCD为平行四边形，可将求∠C转化为求∠BAD，而菱形的对角线平分一组对角，因此可先求∠DAE的大小．

解：（1）由作图过程可知，AB＝AF，AE平分∠BAD．∴∠BAE＝∠EAF．

            ∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD．∴∠AEB＝∠EAF．

            ∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE．∴BE＝AF．∴四边形ABEF为平行四边形．

            ∴四边形ABEF为菱形．

       （2）连接BF，

O

           

         ∵四边形ABEF为菱形，∴BF与AE互相垂直平分，∠BAE＝∠FAE．

∴OA＝AE＝．∵菱形ABEF的周长为16，∴AF＝4．

         ∴cos∠OAF＝＝．∴∠OAF＝30°，∴∠BAF＝60°．

         ∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠C＝∠BAD＝60°．

   

知识点：各地中考

题型：解答题