如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)*:PB∥平面AE...

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如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.

(1)*:PB∥平面AEC;

(2)设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=,求三棱锥E-ACD的体积.

【回答】

(1)*连接BD交AC于点O,连接EO.

因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.

又E为PD的中点,所以EO∥PB.

EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,

所以PB∥平面AEC.

(2)解因为PA⊥平面ABCD,ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两垂直.

如图,以A为坐标原点,的方向为x轴的正方向,||为单位长,建立空间直角坐标系A-xyz,

则D(0,,0),E

设B(m,0,0)(m>0),

则C(m,,0),=(m,,0),

设n1=(x,y,z)为平面ACE的法向量,则

可取n1=

又n2=(1,0,0)为平面DAE的法向量,由题设|cos<n1,n2>|=,即,解得m=

因为E为PD的中点,

所以三棱锥E-ACD的高为

三棱锥E-ACD的体积V=

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题