如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点. ...
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如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(1) *:PB∥平面AEC
(2) 设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=,求三棱锥E-ACD的体积
【回答】
【解析】
试题分析:(Ⅰ)连接BD交AC于O点,连接EO,只要*EO∥PB,即可*PB∥平面AEC;(Ⅱ)延长AE至M连结DM,使得AM⊥DM,说明∠CMD=60°,是二面角的平面角,求出CD,即可三棱锥E-ACD的体积
试题解析:(1)*:连接BD交AC于点O,连接EO.
因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.
又E为PD的中点,所以EO∥PB.
因为EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,
所以PB∥平面AEC.
(2)因为PA⊥平面ABCD,ABCD为矩形,
所以AB,AD,AP两两垂直.
如图,以A为坐标原点,,AD,AP的方向为x轴y轴z轴的正方向,||为单位长,建立空间直角坐标系Axyz,则D,E,=.
设B(m,0,0)(m>0),则C(m,,0),=(m,,0).
设n1=(x,y,z)为平面ACE的法向量,
则即
可取n1=.
又n2=(1,0,0)为平面DAE的法向量,
由题设易知|cos〈n1,n2〉|=,即
=,解得m=.
因为E为PD的中点,所以三棱锥EACD的高为.三棱锥EACD的体积V=××××=.
考点:二面角的平面角及求法;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定
知识点:空间几何体
题型:解答题
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