如图1，已知二次函数y＝ax2＋x＋c(a≠0)的图象与y轴交于点A(0，4)，与x轴交于点B，C，点C坐标为...

问题详情：

如图1，已知二次函数y＝ax2＋x＋c(a≠0)的图象与y轴交于点A(0，4)，与x轴交于点B，C，点C坐标为(8，0)，连接AB，AC.

(1)请直接写出二次函数y＝ax2＋x＋c的表达式；

(2)判断△ABC的形状，并说明理由；

(3)若点N在x轴上运动，当以点A，N，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；

(4)如图2，若点N在线段BC上运动(不与点B，C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．

图1

图2

【回答】

解：(1)y＝－x2＋x＋4.

提示：∵二次函数y＝ax2＋x＋c的图象与y轴交于点A(0，4)，与x轴交于点B，C，点C坐标为(8，0)，

∴解得

∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋4.

(2)△ABC是直角三角形．理由如下：

令y＝0，则－x2＋x＋4＝0，

解得x1＝8，x2＝－2，

∴点B的坐标为(－2，0)．

在Rt△ABO中，AB2＝BO2＋AO2＝22＋42＝20，

在Rt△AOC中，AC2＝AO2＋CO2＝42＋82＝80.

又∵BC＝OB＋OC＝2＋8＝10，

∴在△ABC中，AB2＋AC2＝20＋80＝102＝BC2，

∴△ABC是直角三角形．

(3)∵A(0，4)，C(8，0)，

∴AC＝＝4.

①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于点N，此时N的坐标为(－8，0)；

②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于点N，此时N的坐标为(8－4，0)或(8＋4，0)；

③作AC的垂直平分线，交x轴于点N，此时N的坐标为(3，0)．

综上所述，若点N在x轴上运动，当以点A，N，C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为(－8，0)，(8－4，0)，(8＋4，0)，(3，0)．

(4)设点N的坐标为(n，0)，则BN＝n＋2.

如图，过点M作MD⊥x轴于点D，

∴MD∥OA，∴△BMD∽△BAO，

∴＝.

∵MN∥AC，∴＝，∴＝.

∵OA＝4，BC＝10，BN＝n＋2，∴MD＝(n＋2)．

∵S△AMN＝S△ABN－S△BMN＝BN·OA－BN·MD

＝(n＋2)×4－×(n＋2)2

＝－(n－3)2＋5，

当n＝3时，S△AMN最大，

∴当△AMN面积最大时，N点坐标为(3，0)．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题