如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E是BC边的中点,点P在线段AD上,过P作PF⊥AE于F,设PA=x...
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如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E是BC边的中点,点P在线段AD上,过P作PF⊥AE于F,设PA=x.
(1)求*:△PFA∽△ABE;
(2)当点P在线段AD上运动时,设PA=x,是否存在实数x,使得以点P,F,E为顶点的三角形也与△ABE相似?若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由;
(3)探究:当以D为圆心,DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点时,请直接写出x满足的条件: .
【回答】
(1)*:∵矩形ABCD,∴∠ABE=90°,AD∥BC,∴∠PAF=∠AEB,
又∵PF⊥AE,∴∠PFA=90°=∠ABE,∴△PFA∽△ABE.
(2)解:分二种情况:
①若△EFP∽△ABE,如图1,则∠PEF=∠EAB,∴PE∥AB,
∴四边形ABEP为矩形,∴PA=EB=3,即x=3.
②若△PFE∽△ABE,则∠PEF=∠AEB,∵AD∥BC∴∠PAF=∠AEB,∴∠PEF=∠PAF.
∴PE=PA.∵PF⊥AE,∴点F为AE的中点,Rt△ABE中,AB=4,BE=3,∴AE=5,
∴EF=AE=,∵△PFE∽△ABE,∴,∴,∴PE=,即x=.
∴满足条件的x的值为3或.
(3)如图3,当⊙D与AE相切时,设切点为G,连接DG,∵AP=x,∴PD═DG=6﹣x,
∵∠DAG=∠AEB,∠AGD=∠B=90°,∴△AGD∽△EBA,∴,∴=,x=,
当⊙D过点E时,如图4,⊙D与线段有两个公共点,连接DE,此时PD=DE=5,
∴AP=x=6﹣5=1,
∴当以D为圆心,DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点时,x满足的条件:x=或0≤x<1;故*为:x=或0≤x<1.
知识点:相似三角形
题型:解答题
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