设数列的各项均为不等的正整数,其前项和为,我们称满足条件“对任意的,均有”的数列为“好”数列.(1)试分别判断...
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设数列的各项均为不等的正整数,其前项和为,我们称满足条件“对任意的
,均有”的数列为“好”数列.
(1)试分别判断数列,是否为“好”数列,其中,,,并给出*;
(2)已知数列为“好”数列.
① 若,求数列的通项公式;
② 若,且对任意给定正整数(),有成等比数列,
求*:.
【回答】
而,
所以对任意的均成立,
即数列是“好”数列; …… 2分
若,取,
则,,
此时,
即数列不是“好”数列. …… 4分
(2)因为数列为“好”数列,取,则
,即恒成立.
当,有,
两式相减,得(),
即(),
所以(),
所以,
即,即(),
当时,有,即,
所以对任意,恒成立,
所以数列是等差数列. …… 8分
设数列的公差为,
① 若,则,即,
因为数列的各项均为不等的正整数,所以,
所以,,所以. …… 12分
② 若,则,
由成等比数列,得,所以,
即
化简得,,
即. …… 14分
因为是任意给定正整数,要使,必须,
不妨设,由于是任意给定正整数,
所以. …… 16分
知识点:数列
题型:解答题
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