如图,在平面直角坐标系xOy中,函数y=(m为常数,m>1,x>0)的图象经过点P(m,1)和Q(1,m),直...
- 习题库
- 关注:3.24W次
问题详情:
如图,在平面直角坐标系xOy中,函数y=(m为常数,m>1,x>0)的图象经过点P(m,1)和Q(1,m),直线PQ与x轴,y轴分别交于C,D两点,点M(x,y)是该函数图象上的一个动点,过点M分别作x轴和y轴的垂线,垂足分别为A,B.
(1)求∠OCD的度数;
(2)当m=3,1<x<3时,存在点M使得△OPM∽△OCP,求此时点M的坐标;
(3)当m=5时,矩形OAMB与△OPQ的重叠部分的面积能否等于4.1?请说明你的理由.
【回答】
(1)∠OCD=45°;(2)M(2,);(3)不存在.理由见解析.
【解析】
(1)想办法*OC=OD即可解决问题;
(2)设M(a,),由△OPM∽△OCP,推出,由此构建方程求出a,再分类求解即可解决问题;
(3)不存在,分三种情形说明:①当1<x<5时,如图1中;②当x≤1时,如图2中;③当x≥5时.
【详解】
详解:(1)设直线PQ的解析式为y=kx+b,则有,
解得,
∴y=-x+m+1,
令x=0,得到y=m+1,∴D(0,m+1),
令y+0,得到x=m+1,∴C(m+1,0),
∴OC=OD,
∵∠COD=90°,
∴∠OCD=45°.
(2)设M(a,),
∵△OPM∽△OCP,
∴,
∴OP2=OC•OM,
当m=3时,P(3,1),C(4,0),
OP2=32+12=10,OC=4,OM=,
∴,
∴10=4,
∴4a4-25a2+36=0,
(4a2-9)(a2-4)=0,
∴a=±,a=±2,
∵1<a<3,
∴a=或2,
当a=时,M(,2),
PM=,CP=,
,(舍去)
当a=2时,M(2,),PM=,CP=,
∴,成立,
∴M(2,).
(3)不存在.理由如下:
当m=5时,P(5,1),Q(1,5),设M(x,),
OP的解析式为:y=x,OQ的解析式为y=5x,
①当1<x<5时,如图1中,
∴E(,),F(x,x),
S=S矩形OAMB-S△OAF-S△OBE
=5-x•x-••=4.1,
化简得到:x4-9x2+25=0,
△<O,
∴没有实数根.
②当x≤1时,如图2中,
S=S△OGH<S△OAM=2.5,
∴不存在,
③当x≥5时,如图3中,
S=S△OTS<S△OBM=2.5,
∴不存在,
综上所述,不存在.
【点睛】
本题考查反比例函数综合题、矩形的*质、待定系数法、相似三角形的判定和*质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会利用参数构建方程解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题.
知识点:反比例函数单元测试
题型:解答题
- 文章版权属于文章作者所有,转载请注明 https://zhongwengu.com/exercises/jz6wp2.html