设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA=asinB．（1）求角A的大小；（2）若a=1...

问题详情：

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosA=asinB．

（1）求角A的大小；

（2）若a=1，求△ABC面积的最大值．

【回答】

【考点】HP：正弦定理．

【分析】（1）根据正弦定理化简可得sinAsinB=sinBcosA，结合sinB≠0，可求tanA，由范围0＜A＜π，可求A的值．

（2）由已知利用余弦定理，基本不等式可求bc≤2，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

【解答】解：（1）在△ABC中，∵ asinB=bcosA．

由正弦定理，得： sinAsinB=sinBcosA，

∵0＜B＜π，sinB≠0．

∴sinA=cosA，即tanA=．

∵0＜A＜π，

∴A=．

（2）∵由a=1，A=，

∴由余弦定理，1=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc，得：bc≤2，当且仅当b=c等号成立，

∴△ABC的面积S=bcsinA≤（2+）×=，即△ABC面积的最大值为．

知识点：解三角形

题型：解答题