已知数列，从中选取第项、第项、…、第项，若，则称新数列为的长度为的递增子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1...

问题详情：

已知数列，从中选取第项、第项、…、第项，若，则称新数列为的长度为的递增子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的递增子列．

（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；

（Ⅱ）已知数列的长度为的递增子列的末项的最小值为，长度为的递增子列的末项的最小值为.若，求*： ；

（Ⅲ）设无穷数列的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若的长度为的递增子列末项的最小值为，且长度为末项为的递增子列恰有个，求数列的通项公式．

【回答】

(Ⅰ) 1,3,5,6；(Ⅱ)见解析；(Ⅲ)见解析.

【分析】

(Ⅰ)由题意结合新定义的知识给出一个满足题意的递增子列即可；

(Ⅱ)利用数列的*质和递增子列的定义*题中的结论即可；

(Ⅲ)观察所要求解数列的特征给出一个满足题意的通项公式，然后*通项公式满足题中所有的条件即可.

【详解】

(Ⅰ)满足题意的一个长度为4的递增子列为：1,3,5,6.

(Ⅱ)对于每一个长度为的递增子列，都能从其中找到若干个长度为的递增子列，此时，

设所有长度为的子列的末项分别为：，

所有长度为的子列的末项分别为：，

则，

注意到长度为的子列可能无法进一步找到长度为的子列，

故，

据此可得：.

(Ⅲ)满足题意的一个数列的通项公式可以是，

下面说明此数列满足题意.

很明显数列为无穷数列，且各项均为正整数，任意两项均不相等.

长度为的递增子列末项的最小值为2s-1，

下面用数学归纳法*长度为s末项为2s-1的递增子列恰有个：

当时命题显然成立，

假设当时命题成立，即长度为k末项为2k-1的递增子列恰有个，

则当时，对于时得到的每一个子列，

可构造：和两个满足题意的递增子列，

则长度为k+1末项为2k+1的递增子列恰有个，

综上可得，数列是一个满足题意的数列的通项公式.

注：当时，所有满足题意的数列为：，

当时，数列对应的两个递增子列为：和.

【点睛】

“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.

知识点：推理与*

题型：解答题