已知常数，数列的前n项和为Sn，，．  （1）求数列的通项公式；  （2）若，且数列是单调递增数列，求实数a的...

问题详情：

已知常数，数列的前n项和为Sn，，．

   （1）求数列的通项公式；

   （2）若，且数列是单调递增数列，求实数a的取值范围；

（3）若，，对于任意给定的正整数k，是否都存在正整数p、q，使得

？若存在，试求出p、q的一组值(不论有多少组，只要求出一组即可)；若不存在，请说明理由．

【回答】

解：(1)∵，∴nan=Sn+an(n－1)，∴(n－1)an－1=Sn－1+a(n－1)(n－2)

相减得nan­－(n－1)an－1=an+2a(n－1)，即(n－1)an－(n－1)an－1=2a(n－1)，其中n≥2

∴an－an－1=2a为定值

∴是以2为首项2a为公差的等差数列，∴an=2+(n－1)2a=2a(n－1)+2…………4分

方法二：∵，∴Sn­－Sn－1=+a(n－1)

    ∴ －Sn－1=a(n－1)，其中n≥2

∴－=a为定值，∴{}是以2为首项a为公差的等差数列

∴=2+(n－1)a，∴an=+a(n－1)=2a(n－1)+2……………………4分

(2)由是单调递增数列，得bn＜bn+1，即3n+(－1)n[2a(n－1)+2]＜3n+1+(－1)n+1(2an+2)

即(－1)na＜………………………5分

1°若为正奇数，则－a＜在n为正奇数时恒成立

设f(n)=，则f(n)－f(n+2)=-=－＜0

∴f(1)＜f(3)＜f(5)＜……

∴－a＜f(1)=5即a＞－5………………………6分

方法二：则f(n)－f(n+1)=－=－

它在n=1时为正，在n≥2为负，∴f(1)＞f(2)＜f(3)＜f(4)＜f(5)＜…

∴－a＜min{f(1)，f(3)}=min{5，}=5即a＞－5…………6分

2°若n为正偶数，则a＜在n为正偶数时恒成立，设g(n)=

则g(n+2)-g(n)= -=＞0，∴g(2)＜g(4)＜g(6)＜…

∴

方法二：则g(n+1)－g(n)= -=＞0

∴g(1)＜g(2)＜g(3)＜g(4)＜…，∴a＜g(2)=

综合1°2°及a≠0得－5＜a＜且a≠0……………8分

(3)由(1)得，

∴可化为

方法一：即p===…………………………10分

令得

(或令得，或交换前两组p，q的值，能够确定的有四组)

∴存在满足要求的p，q，且有一组值为…………………12分

方法二：即pq－kp－kq=2019k即(p－k)(q－k)=k(k+2019)=1×(k2+2019k)=k×(k+2019)

令即

(或令即，或交换前两组p，q的值，共能确定四组)

∴存在满足要求的p，q，且有一组值为

知识点：数列

题型：解答题