如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:的焦点为F1(–1、0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴...
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问题详情:
如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:的焦点为F1(–1、0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F2:交于点A,与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B,连结BF2交椭圆C于点E,连结DF1.已知DF1=.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求点E的坐标.
【回答】
(1);
(2).
【分析】
(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程;
(2)解法一:由题意首先确定直线的方程,联立直线方程与圆的方程,确定点B的坐标,联立直线BF2与椭圆的方程即可确定点E的坐标;
解法二:由题意利用几何关系确定点E的纵坐标,然后代入椭圆方程可得点E的坐标.
【详解】
(1)设椭圆C的焦距为2c.
因为F1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,c=1.
又因为DF1=,AF2⊥x轴,所以DF2=,
因此2a=DF1+DF2=4,从而a=2.
由b2=a2-c2,得b2=3.
因此,椭圆C的标准方程为.
(2)解法一:
由(1)知,椭圆C:,a=2,
因为AF2⊥x轴,所以点A的横坐标为1.
将x=1代入圆F2的方程(x-1) 2+y2=16,解得y=±4.
因为点A在x轴上方,所以A(1,4).
又F1(-1,0),所以直线AF1:y=2x+2.
由,得,
解得或.
将代入,得,
因此.又F2(1,0),所以直线BF2:.
由,得,解得或.
又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以.
将代入,得.因此.
解法二:
由(1)知,椭圆C:.如图,连结EF1.
因为BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB,
从而∠BF1E=∠B.
因为F2A=F2B,所以∠A=∠B,
所以∠A=∠BF1E,从而EF1∥F2A.
因为AF2⊥x轴,所以EF1⊥x轴.
因为F1(-1,0),由,得.
又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以.
因此.
【点睛】
本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何*质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论*能力、分析问题能力和运算求解能力.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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