如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的...

问题详情：

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB的斜率为0时，|AB|＋|CD|＝3．

(1)求椭圆的方程；

(2)求以A，B，C，D为顶点的四边形的面积的取值范围．

【回答】

解：(1)由题意知，e＝＝，

则a＝c，b＝c．

当直线AB的斜率为0时，|AB|＋|CD|＝2a＋＝2c＋c＝3，所以c＝1．

所以椭圆的方程为＋y2＝1．

(2)①当直线AB与直线CD中有一条的斜率为0时，另一条的斜率不存在．

由题意知S四边形＝|AB|·|CD|＝×2×＝2．

②当两条直线的斜率均存在且不为0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝k(x－1)，则直线CD的方程为y＝－(x－1)．

将直线AB的方程代入椭圆方程，并整理得

(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，

所以S四边形＝·|AB|·|CD|

因为

当且仅当k＝±1时取等号，

所以S四边形∈．

综合①与②可知，S四边形∈．

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题